Kružnica vpísaná a opísaná trojuholníku

Motivačné aktivity

Aktivity zahrnuté v tejto metodike majú žiakov motivovaťk objavovaniu nových vlastností trojuholníka, a to konkrétne nájdeniestredu a konštrukcie vpísanej a opísanej kružnice. Aktivityvychádzajú z poznatkov o osi úsečky, resp. uhla, o vlastnostidotyčníc kružnice, ktoré by žiaci už mali ovládať z predchádzajúcehoučiva. Obe aktivity sú pripravené tak, aby žiakov v okamihu ich spustenianezaťažovali množstvom informácií, ktoré im chcú predať. Žiak si sám riaditempo, akým bude tieto úlohy riešiť.

Opísaná kružnica

Aktivita začína zopakovaním konštrukcie osi strany a jejvlastností. Po splnení tejto úlohy si žiak „odkryje“ pokračovanie aktivity,a to zaškrtnutím možnosti „Splnil/a som túto úlohu“.

V druhej časti aktivity sa od žiaka očakáva zostrojenieosí strán daného trojuholníka. Po uskutočnení tejto úlohy má zistiť, že savšetky tieto osi pretnú práve v jednom bode.

Tretia časť aktivity vyzýva žiaka, aby zaškrtnutím možnosti„zmeraj vzdialenosť“ zistil vzdialenosti tohto priesečníka od všetkých vrcholovtrojuholníka, a tak zistil, že tieto vzdialenosti v ľubovoľnom trojuholníku sú vždyzhodné.

Štvrtá časť aktivity vyzýva žiaka, aby „si spomenul“, akýobjekt je jednoznačne daný troma bodmi. V zadaní figuruje aj iná pomôcka,keďže vlastnosť kružnice, a teda to, že je jednoznačne daná troma rôznymibodmi, nemusí byť všetkým žiakom známa. Až žiak príde na to, že sa tedaodvolávame na kružnicu, má ju zostrojiť. Až splní túto úlohu, dostáva sa dofinálnej časti aktivity.

V závere aktivity prichádza zovšeobecnenie úlohy,zavedenie pojmu „kružnica opísaná trojuholníku“ a upresneniejej konštrukcie, resp. nájdenie jej stredu.

Obrázok 1 - Ukážka aktivity na nájdenieopísanej kružnice

Po vykonaní tejto aktivity žiaci môžu narysovať niekoľkoopísaných kružníc rôznym trojuholníkom priamo na papier, pričom pomôcť im „akona to“ môže nasledovný applet: http://www.mathopenref.com/constcircumcircle.html.

Vpísaná kružnica

Podobne, ako predchádzajúca aktivita, aj táto je rozdelená doniekoľkých častí.

Začína konštrukciou osi uhla a zopakovaním jehovlastností.

V druhej časti vyzýva žiaka, aby zostrojil kružnicu,ktorá sa dotýka ramien tohto uhla, pričom jej stred je v bode S. Zároveňupozorňuje žiaka na to, aby si uvedomil, kde musí takýto bod S ležať.V zadaní tejto časti aktivity je aj pomôcka, ktorá napovedá, ako nájsťpolomer takejto kružnice.

Tretia časť aktivity sa už zaoberá konštrukciou osí uhlovdaného trojuholníka, po vytvorení ktorej žiak zistí, že sa tieto osi pretnúpráve v jednom bode.

Štvrtá, predposledná časť aktivity, kladie žiakovi otázku –„Vieme zostrojiť takú kružnicu, aby sajej dotýkalo každé z ramien vnútorných uhlov trojuholníka?“ Žiaci by malna základe úloh vyriešených v tejto aktivite a uvedomení si vzťahovmedzi objektmi odpovedať na túto otázku bezosporne,a vzápätí úlohu aj doriešiť – teda zostrojiť takúto kružnicu.

Posledná časť aktivity zavádza pojem „kružnica vpísanátrojuholníku“, upresňuje nájdenie jej stredu a konštrukciu.

Obrázok 2 - Ukážka aktivity k nájdeniuvpísanej kružnice

Po vykonaní tejto aktivity by žiaci mali narysovať niekoľkovpísaných kružníc rôznym trojuholníkom priamo na papier, pomocou kružidla,pravítka a ceruzky. Ako v predchádzajúcom prípade, aj tu im môže byťponúknutý návod „ako na to“ prostredníctvom tohto appletu:http://www.mathopenref.com/constincircle.html.

Metodická poznámka:

Žiaci môžu mať problémy s konštrukciou kružnice,ktorá sa dotýka ramien uhla, preto im splnenie tejto časti aktivity môže zabraťnajväčší podiel času.